直接證明綜合法 證明書

直接證明 綜合法
數學方法之綜合與分析法篇
一、使用綜合法
綜合法是從已知出發，經過逐步推理，最後導出所要達到的結論. 可以看出，若使用綜合法求解問題，一定要將條件與結論結合起來，看看條件、再看看結論，如何架好從條件通往結論的橋樑?
例1：設 ，求證： 證明：由於a，b爲非負實數時， ，得 .
那麼 上述第一個不等式中等號成立的條件爲2x-3=15-3x，解得 故原不等式成立.
點評：本題的證明不重要，產生這個證明方法的思維過程很重要;你知道怎麼產生的嗎?是綜合法的“功勞”，請看：欲從左邊證到右邊，必須消去x;如何消?只有經過平方，才能將x從根號中“解救”出來，“解救”出來後纔有消去的可能;於是在基本不等式中開始“搜索”與平方有關的不等式，慢慢的 就“浮出水面”， 解法自然也就誕生了.
二、使用分析法
分析法是從結論出發，逐步尋找使結論成立的充分條件，直到找到一個明顯成立的條件，這個條件可以是已知條件、公理、定理、定義等，可以看出，若使用分析求解問題，對結論的簡化與轉化很重要，它是向條件靠攏的重要措施.
例2：設a，b，c爲任意三角形的三邊邊長，I=a+b+c，S=ab+bc+ca，求證：3S≤I 2<4S.
證明：由於I 2 = (a+b+c)2= a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca = a2+b2+c2+2S,
故欲證3S≤I 2<4S，只需3S≤a 2+b2+c2+2S<4S， 只需證S≤a 2+b2+c2<2S，
即ab+bc+ca≤ a 2+b2+c2<2ab+2bc+2ca，
只需證a 2+b2+c2≥ab+bc+ca且a 2+b2+c2<2ab+2bc+2ca，
先看a 2+b2+c2≥ab+bc+ca，只需證2a 2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca，
即 ，顯然，此式成立.
再看a 2+b2+c2<2ab+2bc+2ca， 只需證 ，
只需證 ;
只需證 爲三角形的三邊長. 顯然，結論成立
故3S≤I 2<4S.
點評：本題從表面上看不易“征服”，但通過分析法將結論逐步轉化，由看上去很難“接受”的3S≤I 2<4S，轉化爲較爲熟悉的ab+bc+ca≤ a 2+b2+c2<2ab+2bc+2ca，顯然，這比原題的結論看上去要“舒服”多了，當然，求解也就順暢了很多.
三、綜合與分析法同時使用
例3：試證：如果一個角的兩邊分別平行於另一個角的兩邊。並且方向相同，那麼這兩個角相等.
已知：如右圖，∠BAC∥∠B′A′C′中，
AB∥A′B′且AC∥A′C′，且兩角的方向相同，
求證：∠BAC=∠B′A′C′.
分析：(1)∠BAC與B ′A′C′不可能用
平行線的性質，只有考慮構造兩個全等的三角
形，再設法證明兩三角形全等，爲此，分別在
AC，AB，A′C′，A′B′上截取AE =A′E′，
AD =A′D′，連結DE，D′E′，得到△ADE，
△A′D′E′;
(2)欲證這兩三角形全等，只需證DE=D′E′;
(3)只需證DEE′D′是平行四邊形，也就是DD′
平行且等於EE′;
(4)只需證“DD′平行且等於AA′且EE′平行且
等於AA′”;
(5)只需證ADD′A′與AEE′A′均爲平行四邊形，顯然這是一個成立的結論.
證明：由於ADD′A′是平行四邊形，則DD′平行且等於AA′; 同理，得
EE′平行且等於AA′.
於是DD′平行且等於EE′，那麼DEE′D′是平行四邊形，得DE=D′E′.
在△ADE與△A′D′E′中，由於AE =A′E′，AD =A′D′且DE =D′E′，因此，△ADE全等於△A′D′E′，從而∠BAC =∠B′A′C′.
點評：分析法找思路較爲自然，容易產生解題思路與方法，但由於是“逆行”往往敘述較爲複雜;而綜合法產生的解法往往又顯得很突然，一時不知此法由何而來. 於是，二者結合，互相彌補便成了大家提倡的，即“用分析法找思路，用綜合法寫過程”是十分行之有效的方法.