奇妙的自然數

自然數

在數學中，是指正整數(1, 2, 3, 4...)。前面的定義通常在數論中使用;而在集合論和計算機科學中，則喜歡使用或非負整數(0, 1, 2, 3, 4...)這種定義。自然數通常有兩個作用：可以被用來計數(如“有3個蘋果”)，也可用於排序(如“這是國內第3大城市”)。自然數有關整除性的特性，例如素數的分佈，屬於數論研究範圍的課題。有關計數的問題，比如Ramsey理論在組合學中研究。數學家一般以mathbb代表以自然數組成的集合。此集合無上界而可數。

歷史與0的定性

自然數由數數目而起。古希臘人最早研究其抽象特性，當中畢達哥拉斯學派更視之爲宇宙之基本。其它古文明也對其研究作出極大貢獻，尤其以印度對0的接受，爲人稱道。零早於公元前400年被巴比倫人用作數碼使用。瑪雅人於公元200年將零視爲數字，但未與其它文明有所交流。現代的觀念由印度學者Brahmagupta於公元628年提出，經阿拉伯人傳至歐洲。歐洲人開始時仍對零作爲數字感到抗拒，認爲零不是一個“自然”數。19世紀末，集合論者給自然數一個較嚴謹的定義。據此定義，把零(對應於空集)包括於自然數內更爲方便。邏輯論者及電算機科學家，接受集合論者的定義。而其他一些數學家，主要是數論學家，則依從傳統把零拒之於自然數之外。

符號

數學家們使用 N 或 mathbb 來表示所有自然數的集合。這是一個可數的無窮集合。爲了明確的表示不包含0，正整數集合一般如下表示：

N+ 或

mathbb^

Z+ 或

mathbb^而非負整數集合一般如下表示：

N0 或

mathbb^

Z+0 或

mathbb^_

有些作者也使用 W 或 mathbb 來表示“所有的數”的集合。

定義

要給出自然數的嚴謹定義並非易事。皮亞諾公設提出自然數要適合五點：

有一起始自然數 0。

任一自然數 a 必有後繼(successor)，記作 a +1。

0 並非任何自然數的後繼。

不同的自然數有不同的後繼。

(數學歸納公設)有一與自然數有關的命題。設此命題對 0 成立，而當對任一自然數成立時，則對其後繼亦成立，則此命題對所有自然數皆成立。

若把 0 除出自然數之外，則公設內的 0 要換作 1。集合論中的一般構作法是把一自然數看作是所有比它少的自然數組成的集，即　0 ={ }，1 = ，2 = ，3 = ……若有人把自然數看作集合，通常就是如上。 在此定義下，在集合 n 內就有 n 個元素;而若 n 小於 m，則 n 會是 m 的子集。

性質

自然數加法可經a+0=a及a+(b+1)=(a+b)+1遞歸定義而成。因而得出可置換幺半羣(N,+)，是由1生出的自由幺半羣，其中幺元爲0。此幺半羣服從消去律，可嵌入一羣內：最小的是整數羣。 同理，自然數乘法times 可經a times 0=0及a times (b+1)=ab+a 得出。而(N, times)亦是可置換幺半羣;times和+服從分配律：:a times (b+c)=ab+ac。我們說a le b當且僅當有自然數c使得a+c=b。(N, le)是一個良序集，即每個非空子集都有一個最小的自然數。此序也和加法及乘法兼容，即若a，b和c都是自然數且a le b，則a+c le b+c及ac le bc。給出兩個自然數a和b而b ne 0，可找到唯一兩個自然數q及r使得:a=bq+rq稱爲“商數”而r稱爲“餘數”。 若r=0則a可被b 除盡，記爲a|b。相關慨念有可除性，輾轉相除，質數及其它數論慨念。

推廣

自然數有兩種推廣：序數用作排列，而基數用於判定集合的大小。對於有限序列或有限集合，序數及基數皆與自然數同。en:Natural number